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线性代数——特征值特征向量

特征值与特征向量

性质

1.不同特征值的特征向量线性无关。

2.k重特征值至多有k个线性无关的特征向量。(※)

基本运算逻辑

三角矩阵特征值为主对角线元素⭐

注意,当$\lambda=1$时😢

秩为1的矩阵A

  • 特征值 $\sum_{aii},0,0…$
  • $A^n=\sum_{aii}^{n-1} A$​

特征值证明:

求特征值不能先对A做任何变换,而应该带着λ变换

定义法

如果两矩阵相似

“两矩阵相似则具有相同特征值,特征向量也存在关系”

真题&例题

常识题?😢

关于AB=0引申出的一题多解

相似

AB相似,则 A+kE ~ B+kE

  • 行列式相等
  • 俩秩相等
  • 特征值相等
  • 绩相等

利用已知构造方程组求参,进行预处理

由 $A^n=PB^nP^{-1}$

用相似的传递性证明两矩阵相似

A~∧ ⭐

A~∧,$A=P∧P^{-1}$则

  • ∧是矩阵A的特征值
  • P列向量是A的特征向量

要对应,别错位

  • A~∧ ⇔ 矩阵A有n个线性无关的特征向量。 (注意是充要条件)

求解A~∧(相似对角化) ,注意下面图解

  1. 检查是否和对称矩阵相似
  2. 检查是否有n个特征值
  3. 检查k重特征值是否有k个无关的特征向量(n-r(λE-A))

⇳

例题

一正一负必能相似对角化

第(1)问这一思路一定要熟练把握$A\alpha$出现求特征值,想到用定义!!

第(2)问两种思路,

已知特征值、特征向量反求A矩阵

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实对称

性质

  1. 实对称矩阵必与对角矩阵相似;

  2. 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交

    内积为0 ⇒ 齐次方程组 ⇒ 求得特征值

  3. 实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化

    $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ$

  4. 实对称矩阵特征值必为实数

例题

用正交矩阵相似对角化

对比相似矩阵对角化

这里需要用到正交化↧

Schmidt正交化

||β|| 是向量的长度

分子为内积

分母为平方和

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