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线性代数——方程组

Ax=0

重点: n-r(A),基础解系

Ax=0有非零解 $\Leftrightarrow $​​ r(A) < n (未知数个数)$\Leftrightarrow $​​​ A的列向量线性相关

特别地(针对水平型阵和方阵),※

  • A-m×n,m<n, Ax=0 必有非零解
  • A-n×n,Ax=0有非零解 $\Leftrightarrow $​ |A|=0(克拉默法则

Ax=0有非零解,则其解线性组合必为Ax=0的解,所以Ax=0若有非零解,则必有无穷多解,在这无穷多解中,线性无关的解向量个数为 $t=n-r(A)$​​​​​,这就是基础解系​,基础解系是Ax=0的解向量中的极大线性无关组。此外,根据定理可知,Ax=0的任一解都可以由基础解系线性表出

基础解系⭐

  • 是解
  • 是线性无关组
  • 个数t=n-r(A)

真题

2004-数三
2004-数三

【分析】“基础解系不存在”即为Ax=0没有非零解,根据 t=n-r(A) 知,本题等价转化为求解A的秩,求解秩时,找个大,找个小,通过夹逼,确定秩的值

【解】$A^{*}\neq0$,则$r(A^{ *})\geq 1$​,则$r(A)\geq n-1$

Ax=b有解且不唯一,则$r(A) < n$

联立得,r(A)=n-1

故t = n-r(A) = 1

⭐⭐⭐⭐⭐

2002-数二、三
2002-数二、三

【分析】根据通解的定义可知,若为通解,解必然线性无关,本题转化为证明 $a_1,a_2,a_3,a_4$哪三个线性无关

这里用到了“低维无关,添加向量后的高维必无关

此外,如果本题为证明计算题(证明基础解系),即 求$A^{*}x=0$​ 的基础解系,则

  1. 根据$t=n-r(A^{*})$得基础解系解向量个数。
    1. 求解$r(A^{*})$​ (找大找小) ,
    • 根据A不可逆得,$|A|=0, r(A)< n=4$​​
    • 由 $A_{12} \neq 0$​,则$r(A) \geq n-1=3$​​
    • 则r(A)=3,则$r(A^{*})$ = 1
    1. t = 4-1=3,即基础解系有三个解向量
  2. 证明是解
    1. $A^{*}A=|A| E=0,\text{且}|A|=0$​​ ,有 $A^{ *} (a_1a_2a_3a_4)=0$​​,则向量$a_1,a_2,a_3,a_4$​​ 均为$A^{ *}x=0$​​​ 的解
  3. 证明线性无关(上面选择题过程)

🤓

Ax=b

重点:有解判定,解的结构

解的性质:

  • 非齐的解相减为齐的解
  • 齐的解+非齐解为非齐解

解的结构:非齐特解+齐的基础解系=非齐通解

公共解、同解

(一)公共解

  1. 两个方程解联立得公共解
  2. 已知一个方程的基础解系,求得另一个方程的基础解系,设$\beta$​为公共解,则$\beta$​能由两个基础解系分别表出,进而相减得齐次方程组求解。

注意零解一定是公共解。

(二)同解

对Ax=0,Bx=0,若同解,则

n-r(A)=n-r(B)

故必要条件 r(A)-r(B)

2005-数三、四
2005-数三、四

秩关系的证明

应用

2014-数一、二、三
2014-数一、二、三

根据已知,假设出C,解方程组拼出C,考察基本功

命题:若Ax=0只有零解,那么Ax=b有唯一解

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