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线性代数——行列式

计算※

数字型

题型

注意“存在三条对角线的情况”,通过 逐行相加 的到 “三角型”计算

经典例题


2008-真题
2008-真题

抽象型

题型

  1. 行列式性质恒等变形
  2. 矩阵公式、法则恒等变形,E恒等变形
  3. 形特征值、相似

经典例题

思路:利用单位矩阵恒等变形

思路一:利用矩阵相似($\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$无关,后面出现$A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$想到相似)

利用乘法公式凑$PAP^{-1}=B$

思路二:用行列式性质

思路:“不可逆”=>“行列式为0”=>观察看到为特征值形式$|\lambda E-A|=0$,利用特征值与行列式的关系求解

应用

特征值

思路

“消0且得公因式”

例题


对于特征多项式应两行(或列)加加减减,至多是三行(或列)的加加减减找出 $\lambda-a$ 的公因式,然后再解一个二次方程,就可求出矩阵A的三个特征值

克拉默法则

思路

不用来解大的方程组,常用小的证明题,

  • 齐次方程AX=0有非零解→ |A|=0
  • 齐次方程AX=0没有非零解→ |A|≠0

经典例题

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“AB=O” 👉 方程的解(B的列向量是A的解)

​ 👉 秩 r(A)+r(B) ≤ n (n为A的列,B的行)

矩阵秩

注意点

r(A) = r 👉A中有r阶子式不为0,任何r+1阶子式(若还有)必全为0.

r(A) < r 👉A中每一个r阶子式全为0

r(A)≥r 👉A中有r阶子式不为0.(能确定r的范围)

A ≠ O 👉 r|A| ≥ 1

A是n阶,

  • r(A) = n 👉 |A|≠0👉A可逆
  • r(A) < n 👉 |A| = 0👉A不可逆

A是m×n矩阵,则r(A)≤min(m,n)

“三阶矩阵r(A)=2” → |A|=0

A — m×n , B — n×s ※

r(AB) ≤ min { r(A), r(B) }

  • 若A可逆,👉 r(AB)=r(BA)=r(B)
  • 若A列满秩(r(A)=n),👉 r(AB)=r(B)

证 |A| = 0 ?

构思一:证Ax=0有非零解(克拉默法则)

构思二:假设|A|≠0,用$A^{-1}$ 找出矛盾

构思三:证明 r(A) < n

构思四:$|A|= \Pi \lambda_i$​ (特征值)

构思五:证明 $|A|$ = $|A|^{-1}$

经典例题

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这里又用到了 AB=O 型!!!!

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解法一:用秩

​ r(AB) ≤ r(A) ≤ n < m

​ ∵ AB为m阶

​ 故,|AB| = 0 ( r(AB) < m )

解法二:用克拉默法则

​ 构造两个齐次方程组,如下:

​ ABX = 0 (1)

​ BX = 0 (2)

​ 显然,(2)的解一定为(1)的解 ※

​ 又∵ B为n×m,且 n < m

​ ∴ BX=0 一定有非零解

​ 故,ABX = 0 一定有非零解

​ |AB|=0

用到$|A|=|A|^{-1} \rightarrow |A|=0$

代数余子式

定理

i≠j时,有:

$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+…+a_{in}A_{jn}=0$

$a_{1j}A_{1k}+a_{2j}A_{2k}+…+a_{nj}A_{nk}=0$​

某一行元素与另一行对应余子式乘积和为0(第j行与第i行的元素完全相同,故行列式为0)

$A_{ij}$元素大小与$a_{ij}$无关,可构造以$A_{ij}$元素系数为一行(列)的向量,则该构造的向量按$A_{ij}$​元素系数一行(列)的展开的行列式的值就为$\sum A_{ij}$的值

例题

解答如下:

真题

2021-数一
2021-数一

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