线性代数——矩阵

基本计算

对角矩阵存在交换律，即 $\bigwedge_1 \bigwedge_2=\bigwedge_2 \bigwedge_1$

注意交换位置

对于 AB=C

B & C均按列分块，则$A(\beta_1 \beta_2 \beta_3)=(\gamma_1 \gamma_2 \gamma_3)$，故B的列向量都是$AX=\gamma$ 的解，特别的，当AB=O即C=O时，B的列向量均是 $AX=0$ 的解。
B & C按行分块，则 AB的行向量均可由B的行向量线性表出。
A & C按列分块，则 AB的列向量均可由A的列向量线性表出。[2013]

规律1与解联系起来，尤其是AB=O推出B的列向量是Ax=0的解这一规律，除此之外AB=O也经常用r(A)+r(B)≤ n这个不等式。

“AB=O” 👉 方程的解(B的列向量是A的解)

👉 秩 r(A)+r(B) ≤ n (n为A的列,B的行)

规律2,3与线性表出关联，进而可以跟秩，向量组等价(能互相线性表出则等价)联系起来。

几个特殊符号

$a(a_1,a_2,a_3)^T$

矩阵:

$ab^T$ = $(ba^T)^T$

$r(ab^T)$ ≤ $r(a)$ ≤ 1

任何两行成比例

$aa^T$: 对称矩阵

数:

$a^Tb = b^Ta$: $ab^T$ 或 $ba^T$的绩(主对角线元素之和)

$a^Ta$: 平方和

$A^n$

主要有三种形式

题型一：r(A)=1

若秩r(A)=1,则A可分解为一个列向量与一个行向量的乘积,有A2=A之规律,从而$A^{n}=l^{n-1}A$

证明过程

即$A^{n}=(\sum a_{ii})^{n-1}A$

题型二：主对角线和一侧全为0

这类对于n阶矩阵A，$A^{n}=0$

题型三：相似

$A^{n}=PB^{n}P^{-1}$，关键在于选择B矩阵，

通常$A ∽ \wedge$ ，即选B为与A相似对角矩阵，根据与相似对角化的知识，有$A^n=P \wedge^{n} P^{-1}$，P为特征向量组，$\wedge$对角元素为A特征值。

解：

伴随矩阵，可逆矩阵

（一）伴随矩阵

由基本公式$AA^{}=A^{}A=|A|E$,可以推导出以下几个公式：

$A^{-1}= \frac{1}{|A|}A^{*}$

$(A^{-1})^{ * } =(A^{*})^{-1}=\frac{1}{|A|}A$

设A是n阶矩阵

证明过程：

真题

由 $A^{*}=A^{T}$，可得：

$A_{ij}=a_{ij},\forall i,j=1,2,3$

则对A按照第一行展开有：

$A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=(a_{11})^2+(a_{12})^2+(a_{13})^2=3(a_{11})^2$

又根据 $A^{*}=A^{T}$ 有：

$|A^{*}|=|A^{T}|$

即，$|A|^{3-1}=|A|$，$|A|(|A|-1)=0$，易知|A|≠0，

故 A=1

进而 $3(a_{11})^2=1$ ，$a_{11}=\frac{√3}{2}$