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线性代数——矩阵

基本计算

对角矩阵存在交换律,即 $\bigwedge_1 \bigwedge_2=\bigwedge_2 \bigwedge_1$​

注意交换位置

对于 AB=C

  1. B & C均按列分块,则$A(\beta_1 \beta_2 \beta_3)=(\gamma_1 \gamma_2 \gamma_3)$,故B的列向量都是$AX=\gamma$ 的解,特别的,当AB=O即C=O时,B的列向量均是 $AX=0$ 的解。
  2. B & C按行分块,则 AB的行向量均可由B的行向量线性表出
  3. A & C按列分块,则 AB的列向量均可由A的列向量线性表出。[2013]

规律1与解联系起来,尤其是AB=O推出B的列向量是Ax=0的解这一规律,除此之外AB=O也经常用r(A)+r(B)≤ n这个不等式。

“AB=O” 👉 方程的解(B的列向量是A的解)

​ 👉 秩 r(A)+r(B) ≤ n (n为A的列,B的行)

规律2,3与线性表出关联,进而可以跟秩,向量组等价(能互相线性表出则等价)联系起来。

几个特殊符号

$a(a_1,a_2,a_3)^T$

矩阵:

$ab^T$ = $(ba^T)^T$

$r(ab^T)$​​ ≤ $r(a)$​ ≤ 1

任何两行成比例

$aa^T$: 对称矩阵

数:

$a^Tb = b^Ta$: $ab^T$ 或 $ba^T$​​​的绩(主对角线元素之和)

$a^Ta$: 平方和

$A^n$​​

主要有三种形式

题型一:r(A)=1

若秩r(A)=1,则A可分解为一个列向量与一个行向量的乘积,有A2=A之规律,从而$A^{n}=l^{n-1}A$

证明过程
证明过程

即$A^{n}=(\sum a_{ii})^{n-1}A$​​

题型二:主对角线和一侧全为0

这类对于n阶矩阵A,$A^{n}=0$

题型三:相似

$A^{n}=PB^{n}P^{-1}$​​,关键在于选择B矩阵,

通常$A ∽ \wedge$​ ,即选B为与A相似对角矩阵,根据与相似对角化的知识,有$A^n=P \wedge^{n} P^{-1}$​,P为特征向量组,$\wedge$​​对角元素为A特征值。

解:

伴随矩阵,可逆矩阵

(一)伴随矩阵

由基本公式$AA^{}=A^{}A=|A|E$​,可以推导出以下几个公式:

  • $A^{-1}= \frac{1}{|A|}A^{*}$
  • $(A^{-1})^{ * } =(A^{*})^{-1}=\frac{1}{|A|}A$​​

设A是n阶矩阵

证明过程:

真题

2005-数三
2005-数三

由 $A^{*}=A^{T}$,可得:

$A_{ij}=a_{ij},\forall i,j=1,2,3$

则 对A按照第一行展开有:

$A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=(a_{11})^2+(a_{12})^2+(a_{13})^2=3(a_{11})^2$​​​​

又根据 $A^{*}=A^{T}$ 有:

$|A^{*}|=|A^{T}|$

即,$|A|^{3-1}=|A|$​​,$|A|(|A|-1)=0$​,易知|A|≠0,

故 A=1​

进而 $3(a_{11})^2=1$ ,$a_{11}=\frac{√3}{2}$

(二)可逆矩阵

A可逆 $\Leftrightarrow$ |A| ≠ 0

​ $\Leftrightarrow$​ r(A) = n

​ $\Leftrightarrow$​ A的列(行)向量线性无关

​ $\Leftrightarrow$ 0不是A的特征值

真题

2000-数二
2000-数二

单位矩阵与矩阵的转置

初等矩阵

用初等矩阵P左(右)乘矩阵A,结果PA(AP)就是对矩阵A作一次相应的初等行(列)变换。

“左乘行变换,右乘列变换”

初等矩阵均可逆,且其逆是同类型的初等矩阵:

$[\text{倍加}]^{-1}$​​=[倍数取反]​

$[\text{倍乘}]^{-1}$​​​=[取倒数] (对角矩阵也能理解)

$[\text{互换}]^{-1}$​=[不变]

例题

观察下标得变换规律

正交矩阵

内积:

$(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+…a_nb_n$​

$\alpha^T \beta,\alpha^T\alpha \text{与}\beta^T\alpha$​表示内积!!!​

若$(\alpha,\beta)=0$,称两者正交

$AA^T=A^TA=E$​,A为正交矩阵。

$\Leftrightarrow$ $A^T=A^{-1}$​ (充要条件)

$\Rightarrow |A|=1 \text{或}-1$​ (必要不充分条件)

由$AA^T=A^TA=E$,得其几何意义(判断正交矩阵):

  • 列(行)向量两两正交(正交名称由来)
  • 列(行)向量长度为1
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