基本计算
对角矩阵存在交换律，即 $\bigwedge_1 \bigwedge_2=\bigwedge_2 \bigwedge_1$
注意交换位置
对于 AB=C
- B & C均按列分块，则$A(\beta_1 \beta_2 \beta_3)=(\gamma_1 \gamma_2 \gamma_3)$，故B的列向量都是$AX=\gamma$ 的解，特别的，当AB=O即C=O时，B的列向量均是 $AX=0$ 的解。
- B & C按行分块，则 AB的行向量均可由B的行向量线性表出。
- A & C按列分块，则 AB的列向量均可由A的列向量线性表出。[2013]
规律1与解联系起来，尤其是AB=O推出B的列向量是Ax=0的解这一规律，除此之外AB=O也经常用r(A)+r(B)≤ n这个不等式。
“AB=O” 👉 方程的解(B的列向量是A的解)
👉 秩 r(A)+r(B) ≤ n (n为A的列,B的行)
规律2,3与线性表出关联，进而可以跟秩，向量组等价(能互相线性表出则等价)联系起来。
几个特殊符号
$a(a_1,a_2,a_3)^T$
矩阵:
$ab^T$ = $(ba^T)^T$
$r(ab^T)$ ≤ $r(a)$ ≤ 1
任何两行成比例
$aa^T$: 对称矩阵
数:
$a^Tb = b^Ta$: $ab^T$ 或 $ba^T$的绩(主对角线元素之和)
$a^Ta$: 平方和
$A^n$
主要有三种形式
题型一：r(A)=1
若秩r(A)=1,则A可分解为一个列向量与一个行向量的乘积,有A2=A之规律,从而$A^{n}=l^{n-1}A$
即$A^{n}=(\sum a_{ii})^{n-1}A$
题型二：主对角线和一侧全为0
这类对于n阶矩阵A，$A^{n}=0$
题型三：相似
$A^{n}=PB^{n}P^{-1}$，关键在于选择B矩阵，
通常$A ∽ \wedge$ ，即选B为与A相似对角矩阵，根据与相似对角化的知识，有$A^n=P \wedge^{n} P^{-1}$，P为特征向量组，$\wedge$对角元素为A特征值。
解：
伴随矩阵，可逆矩阵
（一）伴随矩阵
由基本公式$AA^{}=A^{}A=|A|E$,可以推导出以下几个公式：
- $A^{-1}= \frac{1}{|A|}A^{*}$
- $(A^{-1})^{ * } =(A^{*})^{-1}=\frac{1}{|A|}A$
设A是n阶矩阵
证明过程：
真题
由 $A^{*}=A^{T}$，可得：
$A_{ij}=a_{ij},\forall i,j=1,2,3$
则 对A按照第一行展开有：
$A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=(a_{11})^2+(a_{12})^2+(a_{13})^2=3(a_{11})^2$
又根据 $A^{*}=A^{T}$ 有：
$|A^{*}|=|A^{T}|$
即，$|A|^{3-1}=|A|$，$|A|(|A|-1)=0$，易知|A|≠0，
故 A=1
进而 $3(a_{11})^2=1$ ，$a_{11}=\frac{√3}{2}$
（二）可逆矩阵
A可逆 $\Leftrightarrow$ |A| ≠ 0
$\Leftrightarrow$ r(A) = n
$\Leftrightarrow$ A的列(行)向量线性无关
$\Leftrightarrow$ 0不是A的特征值
真题
单位矩阵与矩阵的转置
初等矩阵
用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，结果PA（AP）就是对矩阵A作一次相应的初等行（列）变换。
“左乘行变换，右乘列变换”
初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵:
$[\text{倍加}]^{-1}$=[倍数取反]
$[\text{倍乘}]^{-1}$=[取倒数] (对角矩阵也能理解)
$[\text{互换}]^{-1}$=[不变]
例题
观察下标得变换规律
正交矩阵
内积：
$(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+…a_nb_n$
$\alpha^T \beta,\alpha^T\alpha \text{与}\beta^T\alpha$表示内积！！！
若$(\alpha,\beta)=0$，称两者正交
$AA^T=A^TA=E$，A为正交矩阵。
$\Leftrightarrow$ $A^T=A^{-1}$ (充要条件)
$\Rightarrow |A|=1 \text{或}-1$ (必要不充分条件)
由$AA^T=A^TA=E$，得其几何意义(判断正交矩阵)：
- 列(行)向量两两正交(正交名称由来)
- 列(行)向量长度为1