特征值与特征向量
性质
1.不同特征值的特征向量线性无关。
2.ｋ重特征值至多有ｋ个线性无关的特征向量。(※)
基本运算逻辑
三角矩阵特征值为主对角线元素⭐
注意，当$\lambda=1$时😢
秩为1的矩阵A
- 特征值 $\sum_{aii},0,0…$
- $A^n=\sum_{aii}^{n-1} A$
特征值证明：
求特征值不能先对A做任何变换，而应该带着λ变换
定义法
如果两矩阵相似
即 “两矩阵相似则具有相同特征值，特征向量也存在关系”
真题&例题
常识题？😢
关于AB=0引申出的一题多解
相似
AB相似，则 A+kE ~ B+kE
- 行列式相等
- 俩秩相等
- 特征值相等
- 绩相等
利用已知构造方程组求参，进行预处理
由 $A^n=PB^nP^{-1}$
用相似的传递性证明两矩阵相似
A~∧ ⭐
A~∧，$A=P∧P^{-1}$则
- ∧是矩阵A的特征值
- P列向量是A的特征向量
（要对应，别错位）
- A~∧ ⇔ 矩阵A有n个线性无关的特征向量。 （注意是充要条件）
要求解A~∧(相似对角化) ，注意下面图解
- 检查是否和对称矩阵相似
- 检查是否有n个特征值
- 检查k重特征值是否有k个无关的特征向量(n-r(λE-A))
⇳
例题
一正一负必能相似对角化
第(1)问这一思路一定要熟练把握$A\alpha$出现求特征值，想到用定义！！
第（2）问两种思路，
已知特征值、特征向量反求A矩阵
实对称
性质
实对称矩阵必与对角矩阵相似；
实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交；
内积为0 ⇒ 齐次方程组 ⇒ 求得特征值
实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化
$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ$
实对称矩阵特征值必为实数
例题
用正交矩阵相似对角化
对比相似矩阵对角化
这里需要用到正交化↧
Schmidt正交化
||β|| 是向量的长度
分子为内积
分母为平方和