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线性代数——向量

相关、无关

  • 向量组中含零向量必然线性相关

  • 组中至少存在两个成比例的向量必然线性相关

相关计算

$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3…\alpha_s)$​ 是否线性相关?

$\Leftrightarrow$​​​ AX=0是否有非零解?(联系克拉默法则)

$\Leftrightarrow$​​ r(A) < s

特别的,对于n维向量:⭐⭐

  • n个n维向量相关 $\Leftrightarrow$​ 行列式得0,即|A|=0
  • n+1个n维向量必然线性相关

此外,还有以下几何性质

“$\alpha$相关”$\Leftrightarrow$ $\alpha=0$

“$\alpha_1,\alpha_2$相关”$\Leftrightarrow$ $\alpha_1,\alpha_2$​共线

存在$\alpha_1=k\alpha_2$

“$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$​相关”$\Leftrightarrow$​ $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$​​共面

证明、选择

这是难点,重点

证明线性无关

判定方法
判定方法

⭐特征值不同的特征向量必线性无关。

此外,不同特征值中如果某一特征值存在“一对多”的关系,这些特征向量也线性无关。即若$A \alpha_1=\lambda_1\alpha_1,A \alpha_2=\lambda_1\alpha_2,A \alpha=\lambda\alpha$,那么$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$​线性无关​

恒等变形中的思路:

  • 利用已知构造出0使得式子变短
  • 直接两边乘A,得出式子,然后通过两个式子的加加减减化简

真题&经典例题

2008-数二、三、四
2008-数二、三、四

本题第二问“写出和A相似的矩阵”(3分)

分析:$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$无关,后面出现$A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$​想到相似


本题可以当作结论使用

注意等式 $r(\beta_1,\beta_2) ≤ n-r(A)$​​ 的含义,对于一个齐次方程组AX=0,其未知数为n个,则其线性无关的解有 n-r(A) 个,即所有解的秩 ≤ n-r(A)

线性表出

计算

定理

转化为AX=B后有如下情况(如果含参)

现题型多为两个向量小组互相线性表出的问题

$\alpha_1\alpha_1\alpha_1…\alpha_s$​​ (1)

$\beta_1 \beta_2 \beta_3 …\beta_t$ (2)

“向量组线性表出”$\rightarrow$​ 组中任意向量可以由另一向量组线性表出

“向量组等价” $\rightarrow$​ 可互相线性表出

“矩阵等价”$\rightarrow$​ 秩相等

真题

2002-数二
2002-数二

解:(定义法)

解法二(秩的方法)

选择、证明

定理&方法⭐⭐⭐

(设A为向量组$\alpha_1\alpha_2…\alpha_s$ ,B为$\beta_1\beta_2…\beta_t$)

  1. 子集合相关,整体必相关

  2. 低维无关,高维必无关

    基础解系求解过程中,先构造1 0/0 1两个无关的低维向量,然后带到方程中求导的另外两个值后,组成的高维向量必然无关。

  3. A线性相关 $\Leftrightarrow $ 存在$\alpha_i$​​ 可由A中剩余向量线性表出

  4. A线性无关,$A,\beta$​线性相关,则$\beta$​​​可以由A线性表出,且 表示方法唯一

  5. 多数向量可由少数向量线性表出必线性相关

    (判断向量个数) A无关,A可由B线性表出,则s ≤ t

  6. A可由B线性表出,则r(A) ≤ r(B)

方法总结🙅‍

(1) 找出两个条件:向量组A无关,(A,β)相关(定理4)
(2) 构造方程组,证明方程组有界 » r(A)=r(Ā)
(3) 存在等式,找出k≠0,移项,做分母,得到线性表出(证能表出时)
(4) 反证法!!(证不能表出时)

真题&例题

1992-数一
1992-数一

(1)两种方法

(2)还是两种方法🤓

向量组的秩——极大无关组

向量组的极大线性无关组往往是不唯一的,其成员可以不一样,但极大线性无关组中向量的个数是一样的,由此引出向量组秩的概念,向量组的秩为r就是指该向量组的极大线性无关组有r个向量

注意以下几个说法等价:😮

例题

2010-数二、三
2010-数二、三

解法(一)——定理6

Ⅰ可以由Ⅱ表出,

则r(Ⅰ) ≤ r(Ⅱ) ≤ s

根据A,若Ⅰ无关,则r(Ⅰ) = r

故 r ≤ s,A说法正确

解法二:定理5推论

Ⅰ可以由Ⅱ表出,Ⅰ无关,则 r ≤ s

本题可以举反例加以说明

矩阵的秩

前面有涉及,回顾 GO

此外

r(A) = A的列秩 = A的行秩 (概念不同,数值相等)

就是 A的秩等于A的列向量组的秩,那么可以用列向量组的秩求解矩阵的秩,反过来用矩阵的秩可以求得向量组的秩。

⭐经过初等变换矩阵的秩不变,也就意味着,在进行秩的计算时,可以对矩阵既做行变换,又做列变换,这点要区别于方程组计算过程中尽可以做行变换。

公式

  1. $r(A^TA) = r(A)$ (证明过程)

  2. $r(kA) = r(A)$​,当k≠0

  3. $r(A+B)≤ r(A)+r(B)$​

  4. r(AB)≤ min{r(A),r(B)},A-m×n,B-n×s

  5. A可逆,r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)

真题

2018-数一、二、三
2018-数一、二、三

先利用特殊值排除掉简单的CD选项

A选项的判断利用矩阵中AB=C的规律,GO

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