❤️

ARCHAI

Undergraduate / Rookie

Back
Featured image of post 线性代数——二次型

线性代数——二次型

性质定理

二次型$x^{T}Ax$经坐标变换$x=Cy$得二次型$y^{T}By$,其中 $B=C^{T}C$,通俗的讲,就是 二次型矩阵经过任意的一次坐标变换得到新的二次型,前后二次型矩阵合同。

任一二次型都可经坐标变换变成标准型

  • 配方法

    从$x_1$开始先合并再配方,将 f(x)⇒f(y)

  • 正交变换法

例题

说明在正交变换下,A不仅与∧合同,而且A与∧相似

用正交变换化二次型为标准形

参考用正交矩阵相似对角化

若是求正负惯性指数,根据特征值即可得到(特征值是二次型二次项系数✅)

标准型到规范型

标准型到规范性与系数的大小无关,只与系数的正负相关,即正负惯性系数,注意先排序,依次“大于0,等于0,小于0…”

例题

第一问参数的求解用到标准型化成规范型的规律。

第二问的求解实际上就是正交矩阵相似对角化

正定

注意正定矩阵是二次型,所以正定矩阵必对称,检验正定之前,先检验对称性,即证明$A^{T}=A$

正定必要条件

  • $a_{ii}>0$
  • |A| > 0

正定充分必要条件

  • 顺序主子式全大于0
  • 特征值大于0
  • 正惯性指数 p=n
  • $A=C^TEC$,其中C可逆 ▲

经典例题

九几年的
九几年的

$(A^{T}A)^{T}=A^TA$,故$A^{T}A$实对称矩阵

现证$\forall X$,有$X^T(A^TA)X>0$

$X^T(A^TA)X=(AX)^{T}AX \geq 0$

现证$(AX)^{T}AX \neq 0$

相当于证 $AX \neq0$

由于A-m×n,且r(A)=n

故 AX=0只有零解

等价于 $\forall X\neq0,AX \neq0$

得证

即$\forall X, X^T(A^TA)X=(AX)^{T}AX > 0$

故$A^TA$为正定矩阵

补充:“反对称矩阵

$A^T=-A$

规律:

$a_{ii} = 0\text{;}a_{ij}=-a_{ji}$

$|A|=|A^T|=|A^{-1}|=(-1)^n|A|$,即奇数项行列式必为0

合同

相似

若不是实对称矩阵,为普通矩阵,则通过∧作为媒介判断,其中∧为特征值组成的🤓

即 “相似⇒合同,合同⇏相似

Archai
Built with Hugo
Theme Stack designed by Jimmy